Question

在五面體ABCDEF中，AD∥BE∥CF，且AD⊥平面ABC，H為CF的中點，G為AB上的一點，AG=λAB（0＜λ＜1），其俯視圖和側視圖分別如下．
（1）試證：當λ=

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時，AB⊥GH且GH∥平面DEF；  
（2）對于0＜λ＜1的任意λ，是否總有GH且GH∥平面DEF？若是，請予以證明；若否，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當λ=

1

2

時，G為AB的中點，取DE的中點M，連接FM，MG，易證明FMGH為平行四邊形，進而得到FM∥GH，由線面平行的判定定理，可得GH∥平面DEF；由等腰三角形三線合一的性質及AD⊥平面ABC，結合線面垂直的判定定理，可得AB⊥GH．
（2）根據已知易證平面ABH∥平面DEF，故可得對于0＜λ＜1的任意λ，總有GH∥平面DEF．

解答：證明：（1）當λ=

1

2

時，G為AB的中點，取DE的中點M，連接FM，MG，
根據三視圖，我們易得FH∥MG，且FH=MG
即四邊形GHFM為平行四邊形，
則GH∥MF
又MF?平面DEF，GH?平面DEF
∴GH∥平面DEF
∵△ABC為等腰三角形
∴CG⊥AB
又∵AD∥CF，且AD⊥平面ABC
∴HC⊥平面ABC，∴HC⊥AB
又∵CG∩HC=C
∴AB⊥平面CGH
GH?平面CGH
∴AB⊥GH
（2）∵FH=GM=AD=BE且FH∥GM∥AD∥BE
∴四邊形AHFD與四邊形BEFH均為平行四邊形
則AH∥DF，BH∥EF
∵AH∩BH=H，DF∩EF=F
∴平面DEF∥平面AHB
又∵HG?平面AHB
∴HG∥平面DEF
故對于0＜λ＜1的任意λ，總有GH且GH∥平面DEF

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，簡單空間圖形的三視圖，直線與平面垂直的性質及平面與平面平行的判定，其中根據三視圖分析出幾何體的形狀及幾何特征是解答本題的關鍵．