Question

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC‖AD，CD=1，AD=2

2

，∠BAD=∠CDA=45°
（1）求異面直線CE與AF所成角的余弦值
（2）證明：CD⊥平面ABF．

Answer 1

分析：（1）通過平移，將FA平移到ED，可得∠CED為異面直線CE與AF所成的角．然后在Rt△CDE中，用余弦的定義加以計算，即可求出求出CE與AF所成角的余弦值．
（2）過點B作BG∥CD，交AD于點G，結合已知條件證出BG⊥AB，從而得出CD⊥AB．再由FA⊥平面ABCD，得CD⊥FA，利用線面垂直的判定定理，即可證出CD⊥平面ABF．

解答：解：（1）∵四邊形ADEF是正方形，所以FA∥ED．
∴∠CED為異面直線CE與AF所成的角．
∵FA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴FA⊥CD，可得ED⊥CD．
∵在Rt△CDE中，CD=1，ED=2

2

，
∴CE=

CD2+ED2

=3，可得cos∠CED=

ED

EC

=

2 2

3

．
即異面直線CE和AF所成角的余弦值為

2 2

3

；
（Ⅱ）過點B作BG∥CD，交AD于點G，
∵BG∥CD，∴∠BGA=∠CDA=45°．
∵∠BAD=∠CDA=45°，
∴∠BGA+∠BAG=90°，可得BG⊥AB，
∵BG∥CD，∴CD⊥AB，
又∵FA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥FA，
∵FA、AB是平面ABF內的相交直線，
∴CD⊥平面ABF

點評：本題在特殊多面體中證明線面垂直，并求異面直線所成角的大小．著重考查了空間線面垂直的判定與性質、異面直線的定義及其求法等知識，屬于中檔題．