Question

已知二次函數f（x）=x²+bx+c，且f（0）=-3，f（1）=-4
（1）求f（x）的解析式；
（2）當a＜1且f（x）在區間[2a，a+1]上是單調函數，求實數a的取值范圍；
（3）在區間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在g（x）=2x+2m+1的圖象下方，試確定實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=-3可得c，由f（1）=-4可得b，從而可得f（x）；
（2）由題意可知，[2a，a+1]為f（x）單調區間的子集，可得不等式，解出即可；
（3）問題等價于f（x）＜g（x）在[-1，1]上恒成立，分離出參數m后轉化為求函數最值即可；

解答：解：（1）由已知f（0）=-3，可得c=-3，由f（1）=-4可得1+b-3=-4，可得b=-2，
∴f（x）=x²-2x-3；
（2）∵a＜1，∴a+1＞2a，所以區間[2a，a+1]有意義，
∵f（x）的對稱軸x=1，要使函數是單調函數，則2a≥1或a+1≤1，∴a≥

1

2

或a≤0．
又∵a＜1，
∴a的取值范圍是：

1

2

≤a＜1或a≤0；
（3）由已知，即f（x）＜g（x），x∈[-1，1]時恒成立，
化簡得

1

2

x2-2x-2＜m，
設h(x)=

1

2

x2-2x-2，則只要h（x）_max＜m，
∵h（x）的對稱軸x=2，
∴h(x)max=h(-1)=

1

2

，得m＞

1

2

．

點評：本題考查二次函數的性質、函數恒成立問題，考查轉化思想，考查學生解決問題的能力．