Question

△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=60°，則AD與平面BCD所成角的余弦值為

2

2

．

Answer 1

分析：作AO⊥BC于點O，連DO，以點O為原點，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標系，通過求

AD

與平面BCD的夾角去求．

解答：解：設AB=1，作AO⊥BC于點O，連DO，以點O為原點，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，
建立坐標系，因為AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=60°，所以△ABC與△BCD都是正三角形，可得下列坐標：
O（0，0，0），D（

3

2

，0，0），B（0，-

1

2

，0），C（0，

1

2

，0），A（0，0，

3

2

）

AD

=（

3

2

，0，-

3

2

），顯然

n1

=（0，0，1）為平面BCD的一個法向量，
|cos＜

AD

，

n1

＞|=|

- 3 2

3 2 ×1

|=|-

2

2

|=

2

2

∴直線AD與平面BCD所成角的余弦值為：

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點評：本題考查空間角的計算，考查轉化的思想方法，計算能力．利用空間向量的知識，則使問題論證變成了代數運算，使解決問題更加方便．