Question

已知函數F（x）=2^x滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數和奇函數，若不等式g（2x）+ah（x）≥0對?x∈[1，2]恒成立，則實數a的取值范圍是

a≥-

17

6

．

Answer 1

分析：由F（x）=g（x）+h（x）及g（x），h（x）的奇偶性可求得g（x），h（x），進而可把g（2x）+ah（x）≥0表示出來，分離出參數后，利用換元轉化為求函數的最值問題即可解決．

解答：解：由F（x）=g（x）+h（x）即2^x=g（x）+h（x）①，得2^-x=g（-x）+h（-x），
又g（x），h（x）分別為偶函數、奇函數，所以2^-x=g（x）-h（x）②，
聯立①②解得，g（x）=

2x+2-x

2

，h（x）=

2x-2-x

2

．
g（2x）+ah（x）≥0，即

22x+2-2x

2

+a•

2x-2-x

2

≥0，也即（2^2x+2^-2x）+a（2^x-2^-x）≥0，即（2^x-2^-x）²+2+a（2^x-2^-x）≥0，
令t=2^x-2^-x，∵x∈[1，2]，∴t∈[

3

2

，

15

4

]，則不等式變為t²+2+at≥0，
所以不等式g（2x）+ah（x）≥0對?x∈[1，2]恒成立，等價于t²+2+at≥0對t∈[

3

2

，

15

4

]恒成立，也即a≥-t-

2

t

對t∈[

3

2

，

15

4

]恒成立，
令y=-t-

2

t

，t∈[

3

2

，

15

4

]，則y′=-1+

2

t2

=

2-t2

t2

＜0，所以y=-t-

2

t

在[

3

2

，

15

4

]上遞減，
所以y_max=-

3

2

-

2

3 2

=-

17

6

，所以a≥-

17

6

．
故答案為：a≥-

17

6

．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及函數恒成立問題，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，本題綜合性強，難度大．