Question

某公司為了實(shí)現(xiàn)2011年1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過5萬元，同時獎金數(shù)額不超過利潤昀25%，現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.025x，y=1.003^x，y=

1

2

lnx+1，問其中是否有模型能完全符合公司的要求？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：1.003⁶⁰⁰≈6，e=2.718828…，e⁸=2981）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時，滿足①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x25%．分別判斷三個函數(shù)是否滿足題目的條件，即可推出結(jié)果．

解答： 解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時
①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x25%…（2分）
（1）對于y=0.025x，易知滿足①；但當(dāng)x＞200，y＞5；不滿足公司的要求；…（4分）
（2）對于y=1.003^x 易知滿足①；但當(dāng)x＞600時，y＞6，不滿足公司的要求；…（6分）
（3）對于y=

1

2

lnx+1，易知滿足①，當(dāng)x∈[10，1000]時，y≤

1

2

ln1000+1．
∴y≤

1

2

ln1000+1-5=

1

2

（ln1000-8）=

1

2

（ln1000-lne⁸）＜0，滿足②…（8分）
設(shè)F（x）2lnx+4-x，F(xiàn)′（x）=

2

x

-1=

2-x

x

＜0，（x∈[10，1000]）        …（10分）
∴F（x）在x∈[10，1000]為減函數(shù)
F（x）_max=F（10）=2ln10+4-10=2（ln10-3）＜0，滿足③
綜上，只有獎勵模型：y=

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2

lnx+1能完全符合公司的要求      …..（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的模型的選擇與應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，最值的求解方法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．