Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
（1）求證：PC⊥BC；
（2）求點A到平面PBC的距離．
 

Answer 1

(1)證明：見解析；(2)點A到平面PBC的距離等于．

本題考查線面平行，線面垂直，線線垂直，考查點到面的距離，解題的關鍵是掌握線面平行，線面垂直的判定方法，利用等體積轉化求點面距離
（1）利用線面垂直證明線線垂直，即證BC⊥平面PCD；
（2）利用等體積轉化求點A到平面PBC的距離．
(1)證明：∵ PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴ PD⊥BC．
由∠BCD＝90°，得CD⊥BC．又PD∩DC＝D，PD，DC 平面PCD，
∴ BC⊥平面PCD．∵ PC 平面PCD，
故PC⊥BC．-------------------4分
(2)解：(方法一)分別取AB，PC的中點E，F，連DE，DF， 則易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點D，E到平面PBC的距離相等．
又點A到平面PBC的距離等于點E到平面PBC的距離的2倍，由(1)知，BC⊥平面PCD，
∴平面PBC⊥平面PCD．
∵ PD＝DC，PF＝FC，∴ DF⊥PC．
又∴平面PBC∩平面PCD＝PC，∴ DF⊥平面PBC于F．
易知DF＝，故點A到平面PBC的距離等于．--12分
(方法二)：連接AC，設點A到平面PBC的距離為h．
∵ AB∥DC，∠BCD＝90°，∴ ∠ABC＝90°．
由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面積S_△ABC＝1．
由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱錐P-ABC的體積
V＝S_△ABC·PD＝．∵ PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴ PD⊥DC．
又∴ PD＝DC＝1，∴ PC＝＝．
由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面積S_△PBC＝．
∵ V_{A - PBC}＝V_{P - ABC}，∴ S_△PBC·h＝V＝，
得h＝．
故點A到平面PBC的距離等于．----------12分