Question

在△ABC中，內角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，

AB

•

AC

=8，∠BAC=θ，a=4．
（1）求b•c的最大值及θ的取值范圍；
（2）求函數f(θ)=

3

sin2θ+cos2θ+1的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）向量的數量積，利用余弦定理求出b²+c²=32，通過基本不等式求b•c的最大值及θ的取值范圍；
（2）利用二倍角的正弦函數化簡函數f(θ)=

3

sin2θ+cos2θ+1 為一個角的三角函數的形式，通過角的范圍正弦函數的最值求出函數的最大值和最小值．

解答：解（1）bc•cosθ=8，b²+c²-2bccosθ=4²即b²+c²=32…（2分）
又b²+c²≥2bc所以bc≤16，即bc的最大值為16 …（4分）
即

8

cosθ

≤16所以 cosθ≥

1

2

，又0＜θ＜π所以0＜θ≤

π

3

…（6分）
（2）f(θ)=

3

sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+

π

6

)+1…（9分）
因0＜θ≤

π

3

，所以

π

6

＜2θ+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(2θ+

π

6

)≤1…（10分）
當2θ+

π

6

=

5π

6

即θ=

π

3

時，f(θ)min=2×

1

2

+1=2…（11分）
當2θ+

π

6

=

π

2

即θ=

π

6

時，f（θ）_max=2×1+1=3…（12分）

點評：本題考查三角函數的化簡求值，余弦定理的應用，掌握正弦函數的基本性質，是解好本題的關鍵．