Question

已知f(x)=

x2+(1+p)x+p

2x+p

  (p＞0)
（1）若p＞1時，解關于x的不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）＞2對2≤x≤4時恒成立，求p的范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數化簡可得，f(x)=

(x+p)(x+1)

2x+p

≥0，要解不等式，需要討論-

1

2

p與-1的大小，①1＜p＜2②p=2時③p＞2三種情況分別進行求解
（2）由

x2+(1+p)x+p

2x+p

＞2可得x²+（p-3）x-p＞0對2≤x≤4恒成立，即p＞

3x-x2

x-1

=-(x-2)+

2

x-1

 對 2≤x≤4恒成立，只要p＞g（x）_max，結合函數g(x)=-(x-2)+

2

x-1

 在 [2 ，  4]上的單調性可求

解答：解：（1）f(x)=

(x+p)(x+1)

2x+p

≥0
①1＜p＜2 時，解集為 {x|-p≤x≤-1 或 x＞-

p

2

}
②p=2時，解集為{x|x≥-2且x≠-1}
③p＞2時，解集為{x|-p≤x＜-

p

2

 或 x≥-1}
（2）∵

x2+(1+p)x+p

2x+p

＞2x²+（1+p）x+p＞4x+2p
∴x²+（p-3）x-p＞0對2≤x≤4恒成立
∴p＞

3x-x2

x-1

=-(x-2)+

2

x-1

 對 2≤x≤4恒成立
∵g(x)=-(x-2)+

2

x-1

 在 [2 ，  4]上遞減
∴g（x）_max=g（2）=2
∴p＞2

點評：本題主要考查了含有參數的不等式的求解，體現了分類討論思想的應用，函數的恒成立與求解函數的最值的相互轉化，注意函數的單調性在求解函數 最值中的應用．