Question

【題目】已知動圓過定點，且在軸上截得的弦長為，記動圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求直線與曲線圍成的區域面積；

（2）點在直線上，點，過點作曲線的切線、，切點分別為、，證明：存在常數，使得，并求的值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析。

【解析】試題分析：

（1）根據直接法求得曲線方程為，解方程組得到直線和曲線C的交點坐標，根據定積分可求得面積．（2）設、，結合題意求得切線的方程，根據切線方程的特點求出直線的方程，將直線的方程與聯立消元后得到二次方程，根據根與系數的關系求得和后比較可得，從而得到結論．

試題解析：

（1） 設動圓圓心的坐標為，

由題意可得，

化簡得，

故曲線的方程為．

由，解得或，

所以直線與曲線圍成的區域面積為．

（2）設、，

則由題意得切線的方程為，切線的方程為，設點，

從而有，

所以可得直線AB的方程為

即．

由消去y整理得，

又，

所以，

所以，

故，

= ，

所以．

故存在常數，使得成立．