Question

9．已知函數f（x）=x•lnx，g（x）=2mx-1（m∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若$?x∈[{\frac{1}{e}，e}]$，f（x）＞g（x）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）問題轉化為$2m＜{（{lnx+\frac{1}{x}}）_{min}}$，構造函數$h（x）=lnx+\frac{1}{x}$，$x∈[{\frac{1}{e}，e}]$，根據函數的單調性求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）$f′（x）=1•lnx+x•\frac{1}{x}=lnx+1$，…（2分）
所以f′（1）=1，又f（1）=0，
所以函數f（x）在x=1處的切線方程是：
y-0=1×（x-1），即y=x-1．   …（5分）
（Ⅱ）由f（x）＞g（x）得，$lnx+\frac{1}{x}＞2m$，
于是$2m＜{（{lnx+\frac{1}{x}}）_{min}}$． …（7分）
構造函數$h（x）=lnx+\frac{1}{x}$，$x∈[{\frac{1}{e}，e}]$
令$h′（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}＞0$，得x＞1，
所以函數h（x）在$（{\frac{1}{e}，1}）$上單調遞減，（1，e）上單調遞增，
h（x）_min=h（1）=1，…（10分）
于是，2m＜1，
所以，實數m的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{2}）$． …（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．