Question

（本小題滿分13分）如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，

ABD和BCD均為等邊三角形，AB=2，學科網AC=。

（1）求證：AO⊥平面BCD； （2）求二面角A—BC—D的大��；

   （3）求O點到平面ACD的距離。

Answer 1

(Ⅰ) 證明見解析。   (Ⅱ)  arctan2 （Ⅲ）

解析:

法一：（1）證明：連結OC，∵ABD為等邊三角形，O為BD的中點，∴AO垂直BD。（1分）∴ AO=CO=。……（2分）在AOC中，AC=，∴AO²+CO²=AC²，

∴∠AOC=90⁰，即AO⊥OC�！郆DOC=O，∴AO⊥平面BCD�！�…（3分）

   （2）過O作OE垂直BC于E，連結AE， ∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影為OE。

    ∴AE⊥BC。 ∠AEO為二面角A—BC—D的平面角。……（7分）

       在RtAEO中，AO=，OE=，∠，∴∠AEO=arctan2。

       二面角A—BC—D的大小為arctan2。

       （3）設點O到面ACD的距離為∵V_O-ACD=V_A-OCD，∴。

       在ACD中，AD=CD=2，AC=，。

       而AO=，，∴。

       ∴點O到平面ACD的距離為。…（13分）

解法二：（1）同解法一。

       （2）以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，

       則O（0，0，0），A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（-1，0，0）

       ∵AO⊥平面DCD，     ∴平面BCD的法向量=(0,0,)�！�（5分）

       設平面ABC的法向量，

       ，

       由。設與夾角為，

       則�！喽�面角A—BC—D的大小為arccos。………（8分）

   （3）解：設平面ACD的法向量為又

�！�…（11分）

設與夾角為，則設O到平面ACD的距離為，

∵,∴O到平面ACD的距離為。（13分）