Question

1．已知傾斜角為60°的直線l過點（0，-2$\sqrt{3}$）和橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點，且橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過（-3，0）點的直線l與橢圓相交于A，B兩點，若以線段A，B為直徑的圓過橢圓的左焦點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得直線l的方程，求得與x軸的焦點坐標，則c=2，根據橢圓的離心率公式即可求得a的值，由b²=a²-c²=2，代入即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程代入橢圓方程根據韋達定理及向量數量積的坐標運算可知：$\frac{y_1}{{{x_1}+2}}•\frac{y_2}{{{x_2}+2}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（m{y_1}-1）（m{y_2}-1）}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{m^2}{y_1}{y_2}-m（{y_1}+{y_2}）+1}}=-1$，即可求得m的值，即可求得直線l的方程．

解答 解：（I）∵直線l的傾斜角為60°，
∴直線l的斜率為k=$\sqrt{3}$，
又∵直線l過點（0，-2$\sqrt{3}$），則直線l的方程為y+2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$x，…（3分）
∵a＞b，
∴橢圓的焦點為直線l與x軸的交點，
∴橢圓的焦點為（2，0），則c=2，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a=$\sqrt{6}$，b²=a²-c²=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；…（5分）
（Ⅱ）設直線l的方程為x=my-3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）…（6分）
聯立直線與橢圓的方程$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\\ x=my-3\end{array}\right.$，得（m²+3）y²-6my+3=0，
由韋達定理可知：${y_1}+{y_2}=\frac{6m}{{{m^2}+3}}，{y_1}{y_2}=\frac{3}{{{m^2}+3}}$，…（7分）
由題意可知AF₁⊥BF₁，即${k_{AF}}_1•{k_{B{F_1}}}=-1$…，（8分）
∴$\frac{y_1}{{{x_1}+2}}•\frac{y_2}{{{x_2}+2}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（m{y_1}-1）（m{y_2}-1）}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{m^2}{y_1}{y_2}-m（{y_1}+{y_2}）+1}}=-1$，
整理得：（m²+1）y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=0…（10分）
∴$\frac{{3（{m^2}+1）}}{{{m^2}+3}}-\frac{{6{m^2}}}{{{m^2}+3}}+1=0$，解得：$m=±\sqrt{3}$…（11分）
代入△=36m²-12（m²+3）=24×3-36=36＞0，…（12分）
∴直線l的方程為$x+\sqrt{3}y+3=0或x-\sqrt{3}y+3=0$．…（13分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．