Question

6．已知$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x$，
（1）求函數f（x）的對稱軸所在直線的方程；
（2）求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析 （1）利用降次公式將函數化簡y=Asin（ωx+φ）的形式，結合三角函數的性質求解f（x）的對稱軸所在直線的方程．
（2）將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；

解答 解：（1）函數$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x$，
化簡得：$f（x）=1+cos2x+\sqrt{3}sin2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
令$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
解得：$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
即得f（x）的對稱軸方程為：$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
（2）由（1）得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵2x+$\frac{π}{6}$∈[2kπ$-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]是單調遞增區間，即$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得：$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z，
∴函數f（x）的單調遞增區間為$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]$（k∈Z）．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．