Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）總有導(dǎo)函數(shù)f′（x），定義F（x）=e^xf（x），G（x）=

f(x)

ex

x∈R，e=2.71828一是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若f（x）＞0，且f（x）+f′（x）＜0，試分別判斷函數(shù)F（x）和G（x）的單調(diào)性：
（2）若f（x）=x²-3x+3，x∈[-2，t]（t＞1）．
①求函數(shù)F（x）的最小值：
②比較F（t）與

3

4

et的大小．

Answer 1

分析：（1）對(duì)F（x）、G（x）分別求導(dǎo)，利用F′（x）、G′（x）判定F（x）、G（x）的增減性；
（2）①由f（x）得F（x）的解析式，求導(dǎo)函數(shù)F′（x），利用F′（x）與F（x）的變化關(guān)系求出F（x）在[-2，t]（t＞1）上的最小值；
②先求F（x）的最小值，再用最小值與

3

4

et比較大小即可．

解答：解：（1）∵F（x）=e^xf（x），∴F′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]；
又∵f（x）+f′（x）＜0，∴F′（x）＜0，∴F（x）是R上的減函數(shù)；
∵G（x）=

f(x)

ex

，∴G′（x）=

f′(x)ex-f(x)ex

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

；
又∵f（x）＞0，f（x）+f′（x）＜0，∴f′（x）＜-f（x）＜0，
∴f′（x）-f（x）＜0，∴G′（x）＜0，∴G（x）是R上的減函數(shù)；
（2）①∵f（x）=x²-3x+3，x∈R；
∴F（x）=e^xf（x）=（x²-3x+3）e^x；
∴F′（x）=e^x[（2x-3）+（x²-3x+3）]=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x，
當(dāng)x∈[-2，t]（t＞1）時(shí)，隨著x的變化，F(xiàn)′（x），F(xiàn)（x）的變化情況如下表：
；
∴F（x）在[-2，t]（t＞1）上的最小值是F（-2）與F（1）中的較小者；
∵

F(-2)

F(1)

=

13

e3

＜1，F(xiàn)（1）＞0，∴F（-2）＜F（1）；
∴F（x）在[-2，t]（t＞1）上的最小值是13e^-2；
②∵F（t）=（t²-3t+3）e^t=[(t-

3

2

)2+

3

4

]e^t≥

3

4

e^t，現(xiàn)在證明e^t＞et；
設(shè)g（t）=e^t-et，則g′（t）=e^t-e；
∵t＞1，∴g′（t）＞e¹-e=0；
∴g（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
∴當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）＞g（1）=0，∴e^t＞et；
∴F（t）≥

3

4

e^t＞

3

4

et．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值問(wèn)題，是高考中的熱點(diǎn)，也是易錯(cuò)題．