Question

已知拋物線y=ax²+bx在第一象限內與直線x+y=4相切．
（Ⅰ）用b表示a，并求b的范圍；
（Ⅱ）設此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積為S，求S的最大值及此時a、b的值．

Answer 1

分析：（I）設切點（x₀，y₀），根據函數在x₀處的導數等于-1，以及切點在切線上又在曲線上建立方程組，可求出a與b的等式關系，最后求出b的范圍即可；
（II）利用定積分表示出此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積為S，然后利用定積分的運算法則求出面積S，最后利用導數研究函數的最值即可，同時求出此時的a和b．

解答：解：（I）因為直線x+y=4與拋物線y=ax²+bx相切，設切點（x₀，y₀）
則f′（x₀）=2ax₀+b=-1，∴x0=

-b-1

2a

又∵

x0+y0=4 y0=ax02+bx

0得a=-

(b+1)2

16

，∵0＜x₀，0＜y₀，得0＜

-b-1

2a

＜4，解得b＞1
（II）S=

∫

- b a 0

(ax2+bx)dx=

1

6a2

b3=

128b3

6(b+1)4

，S′=

128b2(3-b)

3(b+1)5

；
所以在b=3時，S取得極大值，也是最大值，即a=-1，b=3時，S取得最大值，且Smax=

9

2

．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及用定積分求面積時，要注意明確被積函數和積分區間，屬于基本知識、基本運算，屬于中檔題．