Question

已知函數f(x)=

ax2+bx

x+1

，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是5x-4y+1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）設g（x）=2ln（x+1）-mf（x），若當x∈[0，+∞）時，恒有g（x）≤0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是5x-4y+1=0，建立方程組，即可求a，b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=

x2+x

x+1

，g(x)=2ln(x+1)-m

x2+2x

x+1

(x＞-1)，求導函數，構建新函數h（x）=-mx²+（2-2m）x+2-2m，分類討論，確定g（x）在[0，+∞）上的單調性，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）求導函數，可得f′(x)=

(2ax+b)(x+1)-(ax2+bx)

(x+1)2

．
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是5x-4y+1=0．
∴

f(1)= 3 2 f′(1)= 5 4

，∴

a+b 2 = 3 2 3a+b 4 = 5 4

，∴

a=1 b=2

-------（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=

x2+2x

x+1

，∴g(x)=2ln(x+1)-m

x2+2x

x+1

(x＞-1)，則g′(x)=

-mx2+(2-2m)x+2-2m

(x+1)2

，--------------------------（6分）
令h（x）=-mx²+（2-2m）x+2-2m，
當m=0時，h（x）=2x+2，在x∈[0，+∞）時，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函數，則g（x）≥g（0）=0，不滿足題設．
當m＜0時，∵-

2-2m

-2m

=

1

m

-1＜0且h（0）=2-2m＞0
∴x∈[0，+∞）時，h（x）＞0，g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函數，則g（x）≥g（0）=0，不滿足題設．-----------------（8分）
當0＜m＜1時，則△=（2-2m）²+4m（2=2m）=4（1-m²）＞0，
由h（x）=0得x1=

1-m- 1-m2

m

＜0；x2=

1-m+ 1-m2

m

＞0
則x∈[0，x₂）時，h（x）＞0，g′（x）＞0即g（x）在[0，x₂）上是增函數，則g（x₂）≥g（0）=0，不滿足題設．-----------（10分）
當m≥1時，△=（2-2m）²+4m（2=2m）=4（1-m²）≤0，h（x）≤0，g′（x）≤0，即g（x）在[0，+∞）上是減函數，則g（x）≤g（0）=0，滿足題設．
綜上所述，m∈[1，+∞）-------------------------------------------------（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，正確求導，合理分類是關鍵．