Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n項和S_n滿足S_n+1+S_n-1=2S_n+1，其中（n≥2，n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設為非零整數，n∈N^*），試確定λ的值，使得對任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題由條件S_n+1+S_n-1=2S_n+1，借助項與和關系S_n-S_n-1=a_n，可確定數列為等差數列，進而求出數列{a_n}的通項公式a_n=n+1．
（2）由a_n通項寫出b_n的通項，欲證明數列為遞增數列，可借助作差法證明b_n+1-b_n＞0即可，進行整理變形即轉化為對（-1）^n-1λ＜2^n-1（n∈N^*）恒成立的證明．借此討論N的奇數偶數兩種情況就可求出λ的范圍，再綜合λ為非零的整數即可確定λ的具體取值．
解答：解：（1）由已知，（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），
即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N^*），且a₂-a₁=1．
∴數列{a_n}是以a₁=2為首項，公差為1的等差數列．
∴a_n=n+1．
（2）∵a_n=n+1，
∴b_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，要使b_n+1＞b_n恒成立，
∴b_n+1-b_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．
（ⅰ）當n為奇數時，即λ＜2^n-1恒成立，
當且僅當n=1時，2^n-1有最小值為1，
∴λ＜1．
（ⅱ）當n為偶數時，即λ＞-2^n-1恒成立，
當且僅當n=2時，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2．
即-2＜λ＜1，又λ為非零整數，則λ=-1．
綜上所述，存在λ=-1，使得對任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．
點評：本題主要考查了數列的通項公式的求法，并借助數列增減性的證明方法求通項中參變量的范圍，其中在證明（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立這一過程屬于難點．學生不易將n分為奇數和偶數進行分情況討論后取其交集，易出現思路不清．