Question

對1個單位質量的含污物體進行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:

為, 要求清洗完后的清潔度為.  有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗;   方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質量變為. 設用單位質量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質量的水第二次清洗后的清潔度是,

其中是該物體初次清洗后的清潔度.

(Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少;

(Ⅱ)若采用方案乙, 當為某固定值時, 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數值時對最少總用水量多少的影響.

Answer 1

解：(Ⅰ)設方案甲與方案乙的用水量分別為與,由題設有,解得.

        由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量滿足方程:

      解得,故.即兩種方案的用水量分別為與.

   因為當時，即,故方案乙的用水量較少.

（II）設初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得

     ①

于是

          當為定值時, ,

          當且僅當時等號成立.此時

         （不和題意，舍去）或

          將代入①式得

          故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為

          ,    最少總用水量是.

          當時，,故是增函數(也可以用二次函數的單調性判斷).這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.