Question

對1個單位質量的含污物體進行清洗，清洗前其清潔度（含污物體的清潔度定義為：1-

污物質量

物體質量(含污物)

）為0.8，要求洗完后的清潔度是0.99．有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：兩次清洗．該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質量變為a（1≤a≤3）．設用x單位質量的水初次清洗后的清潔度是

x+0.8

x+1

（x＞a-1），用y質量的水第二次清洗后的清潔度是

y+ac

y+a

，其中c（0.8＜c＜0.99）是該物體初次清洗后的清潔度．
（Ⅰ）分別求出方案甲以及c=0.95時方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；
（Ⅱ）若采用方案乙，當a為某定值時，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最少？并討論a取不同數值時對最少總用水量多少的影響．

Answer 1

分析：（1）設方案甲與方案乙的用水量分別為x與z，由

x+0.8

x+1

=0.99求得x，進而可知方案乙初次用水量為3，第二次用水量y滿足的方程，進而解得y，進而求得a和z的關系式，進而根據a的范圍得出方案乙的用水量較少．
（2）設初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，求得x和y的關系式，當a為定值時求得x+y的最小值，根據等號成立的條件求得c，；當a不為定值時，根據T(a)=-a+4

5a

-1是增函數，進而可知，隨著a的值的最少總用水量，最少總用水量最少總用水量．

解答：解：（Ⅰ）設方案甲與方案乙的用水量分別為x與z，由題設有

x+0.8

x+1

=0.99，
解得x=19．
由c=0.95得方案乙初次用水量為3，第二次用水量y滿足方程：

y+0.95a

y+a

=0.99，
解得y=4a，故z=4a+3．
即兩種方案的用水量分別為19與4a+3．
因為當1≤a≤3時，x-z=4（4-a）＞0，
即x＞z，
故方案乙的用水量較少．
（II）設初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，類似（I）得
x=

5c-4

5(1-c)

，y=a（99-100c）（*）
于是x+y=

5c-4

5(1-c)

+a（99-100c）=

1

5(1-c)

+100a(1-c)-a-1
當a為定值時，x+y≥2

1 5(1-c) ×100a(1-c)

-a-1=-a+4

5a

-1，
當且僅當

1

5(1-c)

=100a(1-c)時等號成立．
此時c=1+

1

10 5a

(不合題意，舍去)或c=1-

1

10 5a

∈(0.8，0.99)，
將c=1-

1

10 5a

代入（*）式得x=2

5a

-1＞a-1，y=2

5a

-a．
故c=1-

1

10 5a

時總用水量最少，
此時第一次與第二次用水量分別為2

5a

-1與2

5a

-a，
最少總用水量是T(a)=-a+4

5a

-1．
當1≤a≤3時，T′(a)=

2 5

a

-1＞0，
故T（a）是增函數（也可以用二次函數的單調性判斷）．
這說明，隨著a的值的增加，最少用水總量增加．

點評：本題主要考查了基本不等式．利用基本不等式求函數的最大值或最小值是高中求函數最值的主要方法之一．在具體的題目中，“正數”條件往往可以從題設中獲得解決，“相等”條件需要驗證確定，而要獲得“定值”條件，通常需要一定的靈活性和變形的技巧．