Question

設函數y=f（x）的定義域R上的奇函數，滿足f（x-2）=-f（x），對一切x∈R都成立，又知當-1≤x≤1時，f（x）=x³，則下列四個命題
①f（x）是以4為周期的周期函數；
②f（x）在[1，3]上的解析式f（x）=（2-x）³；
③f(x)在點(

3

2

，f(

3

2

))處的切線方程為3x+4y-5=0；
④x=±1是函數f（x）圖象的對稱軸．
其中正確的是

 

．

Answer 1

分析：根據函數y=f（x）的定義域R上的奇函數，滿足f（x-2）=-f（x），得到f（x+4）=f（x）即周期性和對稱性，根據周期性做出函數在一個區間上的解析式，進而求出曲線的斜率．

解答：解：∵函數y=f（x）的定義域R上的奇函數，
滿足f（x-2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），故①正確，
當x∈[1，3]，x-2∈[-1，1]
∴f（x）在[1，3]上的解析式f（x）=（2-x）³，故②正確，
∴f^′（x）=-3（2-x）²，
f(x)在點(

3

2

，f(

3

2

))出的切線的斜率是-

3

4

，
∴切線的方程是3x+4y-5=0，故③正確，
x=±1是函數f（x）圖象的對稱軸，故④正確，
綜上可知①②③④正確，
故答案為：①②③④．

點評：本題考查函數的性質，包括奇偶性，周期性，函數的解析式的寫法，注意區分根據周期性來寫解析式和根據對稱性來寫解析式的不同．