Question

已知函數f(x)＝log₄(4^x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數．
(1)求k的值；
(2)設g(x)＝log₄，若函數f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）k＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．

(1)由函數f(x)是偶函數，可知f(x)＝f(－x)，
∴log₄(4^x＋1)＋kx＝log₄(4^－x＋1)－kx.
log₄＝－2kx，即x＝－2kx對一切x∈R恒成立，∴k＝－.
(2)函數f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，即方程log₄(4^x＋1)－x＝log₄有且只有一個實根，化簡得方程2^x＋＝a·2^x－a有且只有一個實根．令t＝2^x>0，則方程(a－1)t²－at－1＝0有且只有一個正根．
①a＝1?t＝－，不合題意；②a≠1時，Δ＝0?a＝或－3.若a＝?t＝－2，不合題意，若a＝－3?t＝；③a≠1時，Δ>0，一個正根與一個負根，即<0?a>1.
綜上，實數a的取值范圍是{－3}∪(1，＋∞)．