Question

已知f（x）是定義在R上的且以2為周期的偶函數，當0≤x≤1時，f（x）=x²，如果直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個不同的交點，則實數a的值為（ ）
A．2k（k∈Z）
B．2k或2k+（k∈Z）
C．0
D．2k或2k-（k∈Z）

Answer 1

【答案】分析：先求出-1≤x≤0時f（x）的解析式，即得x∈[-1，1]時f（x）的解析式，再據周期性可得 x∈[2k-1，2k+1]時f（x）的解析式，如圖，直線y=x+a的斜率為1，在y軸上的截距等于a，故直線過頂點或與曲線相切時，滿足條件．
解答：解：設-1≤x≤0，則  0≤-x≤1，f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
綜上，f（x）=x²，x∈[-1，1]，f（x）=（x-2k）²，x∈[2k-1，2k+1]，
由于直線y=x+a的斜率為1，在y軸上的截距等于a，在一個周期[-1，1]上，
a=0時 滿足條件，a=-時，在此周期上直線和曲線相切，
并和曲線在下一個區(qū)間上圖象
有一個交點，也滿足條件． 由于f（x）的周期為2，
故在定義域內，滿足條件的a 應是 2k+0 或 2k-，k∈Z．
故選 D．
點評：本題考查函數的周期性、奇偶性、求函數的解析式，體現了數形結合的數學思想．