Question

【題目】已知函數f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函數，且a＞0．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）若b＞0，試說明 ＜ln ＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）= ，
由f′（x）≥0，且a＞0，得ax﹣1≥0，即x ，
∵x∈（1，+∞），∴ ，即a≥1；
（Ⅱ）∵b＞0，由（Ⅰ）知，a≥1．
∴ ＞1，又f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函數，
∴f（ ）＞f（1），即 ＞0．
化簡得： ＜ ；
ln ＜ ＜0．
令g（x）=ln（1+x）﹣x（x∈[0，+∞）），則g′（x）= ＜0．
∴函數g（x）在[0，+∞）上為減函數．
∴g（ ）=ln（1+ ）=ln ﹣ ＜g（0）=0．
綜上， ＜ln ＜
【解析】（Ⅰ）求出原函數的導函數，由f′（x）≥0，且a＞0，得ax﹣1≥0，即x ，再由x的范圍求得a的范圍；（Ⅱ）b＞0，由（Ⅰ）知a≥1，可得 ＞1，由f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函數，可得f（ ）＞f（1），化簡得到 ＜ ；
由ln ＜ ＜0．構造輔助函數g（x）=ln（1+x）﹣x（x∈[0，+∞）），利用導數判斷函數g（x）在[0，+∞）上為減函數．由g（ ）＜g（0）得ln ＜ ．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．