Question

已知函數f（x）=e^x-ax，其中e為自然對數的底數，a為常數．
（1）若對函數f（x）存在極小值，且極小值為0，求a的值；
（2）若對任意x∈[0，

π

2

]，不等式f（x）≥e^x（1-sinx）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，對a討論，確定函數的單調性，利用函數f（x）存在極小值，且極小值為0，可求a的值；
（2）對任意x∈[0，

π

2

]，不等式f（x）≥e^x（1-sinx）恒成立，等價于對任意x∈[0，

π

2

]，不等式e^xsinx-ax≥0恒成立，構造新函數，分類討論，確定函數的單調性，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-ax，∴f′（x）=e^x-a，
當a≤0時，f′（x）＞0，函數在R上是增函數，從而函數不存在極值，不合題意；
當a＞0時，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，∴x=lna為函數的極小值點，
由已知，f（lna）=0，即lna=1，∴a=e；
（2）不等式f（x）≥e^x（1-sinx），即e^xsinx-ax≥0，
設g（x）=e^xsinx-ax，則g′（x）=e^x（sinx+cosx）-a，g″（x）=2e^xcosx，
x∈[0，

π

2

]時，g″（x）≥0，則g′（x）在x∈[0，

π

2

]時為增函數，∴g′（x）=g′（0）=1-a．
①1-a≥0，即a≤1時，g′（x）＞0，g（x）在x∈[0，

π

2

]時為增函數，∴g（x）_min=g（0）=0，此時g（x）≥0恒成立；
②1-a＜0，即a＞1時，存在x₀∈（0，

π

2

），使得g′（x₀）＜0，從而x∈（0，x₀）時，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，x₀]上是減函數，
∴x∈（0，x₀）時，g（x）＜g（0）=0，不符合題意．
綜上，a的取值范圍是（-∞，1]．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．