Question

【題目】已知數列{an}滿足：an≠0，a1= ，an﹣an+1=2anan+1 ． （n∈N*）．
（1）求證：{ }是等差數列，并求出an；
（2）證明：a1a2+a2a3+…+anan+1＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：a1= ，an﹣an+1=2anan+1．可得

﹣ =2，則{ }是首項為3，公差為2的等差數列，

= +2（n﹣1）=3+2（n﹣1）=2n+1，

即有an=

（2）證明：a1a2+a2a3+…+anan+1= + +…+

= （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （ ﹣ ）= ﹣ ＜

【解析】（1）兩邊除以anan+1 ， 由等差數列的定義和通項公式，即可得證，由等差數列的通項公式即可得到；（2）運用數列的求和方法：裂項相消求和，運用不等式的性質，即可得證．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．