Question

方程x=sinx在x∈[-π，π]上實根的個數為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

A
分析：方程x=sinx在x∈[-π，π]上實根可轉化為函數f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零點，有導數證明函數是單調函數，f（x）零點有且只有一個為0．從而方程x=sinx在x∈[-π，π]上實根有且只有一個為0．
解答：方程x=sinx在x∈[-π，π]上實根可轉化為函數f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零點，
f′（x）=1-cosx，在x∈[-π，π]，-1≤cosx≤1，所以1-cosx≥0，即f′（x）≥0，
所以f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上為增函數．
又因為f（0）=0-sin0=0，所以0是f（x在x∈[-π，π]上的一個零點，
所以函數f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零點有且只有一個為0．
所以方程x=sinx在x∈[-π，π]上實根有且只有一個為0．
故選A．
點評：本題考查函數的零點與對應方程根的聯系，以及導數證單調性，重點鍛煉了轉化的數學思想．