Question

（本小題滿分14分）

已知函數f(x)=x－ax + (a－1)，．

（I）討論函數的單調性；

（II）若，數列滿足．

（1）   若首項，證明數列為遞增數列；

（2）   若首項為正整數，數列遞增，求首項的最小值．

 

 

Answer 1

【答案】

解（I）可知的定義域為，且

．

當即,則,得在單調增加．————1分

當,而,即時,若，則;若或，則．

此時在單調減少，在單調增加；    ————3分

當,即,可得在單調減少，在單調增加.

綜上，當時，函數在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增；當時，函數在上單調遞增；當時，函數在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增．   ——————6分

（II）若，則=x－2x +，由（I）知函數在區間上單調遞增．

（1）因為，所以，可知．

假設，因為函數在區間上單調遞增，所以，即得．

所以，由數學歸納法可得．因此數列為遞增數列．—————9分

（2）由（1）知：當且僅當，數列為遞增數列．

所以，題設即a1－2 a1 + > a1，且a1為正整數．

由a1－2 a1 + > a1，得．　

令，則，可知函數在區間遞增．由于，，，．所以，首項的最小值為6． ————————14分

 

【解析】略