Question

已知函數f（x）=2sinxcosx+cos2x，x∈R
（1）當x為何值時，f（x）取得最大值，并求出其最大值；
（2）若0＜θ＜

π

4

，f（θ-

π

8

）=

2

3

，求sin（2θ-

π

6

）的值．

Answer 1

分析：（1）逆用二倍角的正弦與兩角和的正弦可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），再利用正弦函數的性質即可求得f（x）的最大值及f（x）取得最大值時x的值；
（2）依題意，可求得sin2θ=

1

3

，0＜θ＜

π

4

，繼而可求得cos2θ，利用兩角差的正弦即可求得sin（2θ-

π

6

）的值．

解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x
=

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）
=

2

sin（2x+

π

4

），
∴當2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

（k∈Z）時，函數f（x）取得最大值，其值為

2

．
（2）由f（θ-

π

8

）=

2

3

得

2

sin[2（θ-

π

8

）+

π

4

]=

2

3

，
化簡得sin2θ=

1

3

，
又由0＜θ＜

π

4

得，0＜2θ＜

π

2

，故cos2θ=

1-sin22θ

=

2 2

3

，
∴sin（2θ-

π

6

）=sin2θcos

π

6

-cos2θsin

π

6

=

3 -2 2

6

．

點評：本題考查二倍角的正弦與兩角和的正弦，突出考查正弦函數的性質及兩角差的正弦，考查運算能力，屬于中檔題．