Question

（2013•楊浦區一模）已知數列{a_n}是各項均為正數且公比不等于1的等比數列．對于函數y=f（x），若數列{lnf（a_n）}為等差數列，則稱函數f（x）為“保比差數列函數”．現有定義在（0，+∞）上的如下函數：
①f(x)=

1

x

，
②f（x）=x²，
③f（x）=e^x，
④f(x)=

x

，
則為“保比差數列函數”的所有序號為（　�。�

A．①②

B．③④

C．①②④

D．②③④

Answer 1

分析：設數列{a_n}的公比為q（q≠1），利用保比差數列函數的定義，驗證數列{lnf（a_n）}為等差數列，即可得到結論．

解答：解：設數列{a_n}的公比為q（q≠1）
①由題意，lnf（a_n）=ln

1

an

，∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln

1

an+1

-ln

1

an

=ln

an

an+1

=-lnq是常數，∴數列{lnf（a_n）}為等差數列，滿足題意；
②由題意，lnf（a_n）=lnan2，∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=lnan+12-lnan2=lnq²=2lnq是常數，∴數列{lnf（a_n）}為等差數列，滿足題意；
③由題意，lnf（a_n）=lnean，∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=lnean+1-lnean=a_n+1-a_n不是常數，∴數列{lnf（a_n）}不為等差數列，不滿足題意；
④由題意，lnf（a_n）=ln

an

，∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln

an+1

-ln

an

=

1

2

lnq是常數，∴數列{lnf（a_n）}為等差數列，滿足題意；
綜上，為“保比差數列函數”的所有序號為①②④
故選C．

點評：本題考查新定義，考查對數的運算性質，考查等差數列的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．