Question

已知二項式，其中n∈N，n≥3．
（1）若在展開式中，第4項是常數項，求n；
（2）設n≤2012，在其展開式，若存在連續三項的二項式系數成等差數列，問這樣的n共有多少個？

Answer 1

解：（1）∵為常數項，
∴=0，即n=18； …..（3分）
（2）連續三項的二項式系數分別為、、（1≤k≤n-1），
由題意，
依組合數的定義展開并整理得n²-（4k+1）n+4k²-2=0，
故，…..（6分）
則因為n為整數，并且8k+9是奇數，所以令8k+9=（2m+1）²?2k=m²+m-2，
代入整理得，，∵44²=1936，45²=2025，
故n的取值為44²-2，43²-2，…，3²-2，共42個． …..（10分）
分析：（1）利用二項式的展開式求出第4項，通過x的指數為0，求出a的值．
（2）連續三項的二項式系數分別為、、（1≤k≤n-1），由題意，化簡求解，利用n為自然數求出所有的n的個數．
點評：本題考查二項式定理的展開式的應用，方程的思想的應用，考查計算能力．