Question

已知二項式(

5	x

-

1

x

)n，其中n∈N，n≥3．
（1）若在展開式中，第4項是常數項，求n；
（2）設n≤2012，在其展開式，若存在連續三項的二項式系數成等差數列，問這樣的n共有多少個？

Answer 1

（1）∵T4=

C

3n

(

5	x

)n-3(-

1

x

)3=

C

3n

(-1)3x

n-18

5

為常數項，
∴

n-18

5

=0，即n=18；                                    …..（3分）
（2）連續三項的二項式系數分別為

C

k-1n

、

C

kn

、

C

k+1n

（1≤k≤n-1），
由題意2

C

kn

=

C

k-1n

+

C

k+1n

，
依組合數的定義展開并整理得n²-（4k+1）n+4k²-2=0，
故n1，2=

4k+1± 8k+9

2

，…..（6分）
則因為n為整數，并且8k+9是奇數，所以令8k+9=（2m+1）²?2k=m²+m-2，
代入整理得n1=(m+1)2-2，n2=m2-2，∵44²=1936，45²=2025，
故n的取值為44²-2，43²-2，…，3²-2，共42個．      …..（10分）