Question

【題目】圓與軸交于、兩點(diǎn)，為圓上一點(diǎn).橢圓以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求的值及橢圓方程；

（Ⅱ）若直線與（Ⅰ）中所求的橢圓交于、不同的兩點(diǎn)，且點(diǎn)，，求直線在軸上截距的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），橢圓方程為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距的取值范圍是.

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【解析】

（Ⅰ）由圓與軸的交點(diǎn)為得橢圓的焦距，從而橢圓方程化為，將代入圓，能求出，從而，由此能求出，進(jìn)而能求出橢圓方程.

（Ⅱ）由，得點(diǎn)在線段的中垂線上，當(dāng)時(shí)，與橢圓交于兩點(diǎn)都滿足題意，從而；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，中點(diǎn)，由，得，由，得，再利用點(diǎn)差法能求出結(jié)果.

（Ⅰ）由圓與軸的交點(diǎn)為得橢圓的焦距

橢圓方程化為……①

將代入圓，得

代入①式，得

解得

橢圓方程為

（Ⅱ）由，得點(diǎn)應(yīng)該在線段的中垂線上

當(dāng)時(shí)，與橢圓交于兩點(diǎn)都滿足題意

當(dāng)時(shí)，設(shè)，，中點(diǎn)

由，消得

由，得……②

由，作差，得

由，及，得……③

……④

由③④得，代入中，得……⑤

將⑤式代入②式，得

由⑤得，得

的取值范圍是

綜上，當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距的取值范圍是；

當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距的取值范圍是.