Question

【題目】如圖，，是某景區的兩條道路（寬度忽略不計，為東西方向），Q為景區內一景點，A為道路上一游客休息區，已知，（百米），Q到直線，的距離分別為3（百米），（百米），現新修一條自A經過Q的有軌觀光直路并延伸至道路于點B，并在B處修建一游客休息區.

（1）求有軌觀光直路的長；

（2）已知在景點Q的正北方6百米的P處有一大型組合音樂噴泉，噴泉表演一次的時長為9分鐘，表演時，噴泉噴灑區域以P為圓心，r為半徑變化，且t分鐘時，（百米）（，）.當噴泉表演開始時，一觀光車S（大小忽略不計）正從休息區B沿（1）中的軌道以（百米/分鐘）的速度開往休息區A，問：觀光車在行駛途中是否會被噴泉噴灑到，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）噴泉的水流不會灑到觀光車上，理由見解析

【解析】

（1）建立如圖平面直角坐標系，易得，直線的方程為，，由點到直線距離，求出，從而直線的方程為，聯產方程組求出的坐標，由此能求出軌道的長；

（2）將噴泉記為圓，由題意得，生成分鐘時，觀光車在線段AB上的點C處，則，，從而，若噴泉不會灑到觀光車上，則對恒成立，由此能求出噴泉的水流不會灑到觀光車上.

（1）以點O為坐標原點，直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示.

則由題設得：，直線的方程為，（）.

由，解得，所以.

故直線的方程為，

由得

即，故，

答：水上旅游線的長為.

（2）將噴泉記為圓P，由題意可得，

生成t分鐘時，觀光車在線段上的點C處，

則，，所以.

若噴泉不會灑到觀光車上，則對恒成立，

即，

當時，上式成立，

當時，，，當且僅當時取等號，

因為，所以恒成立，即噴泉的水流不會灑到觀光車上.

答：噴泉的水流不會灑到觀光車上.