Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求幾何體D-ABC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一：由題中數(shù)量關系和勾股定理，得出AC⊥BC，再證BC垂直與平面ACD中的一條直線即可，△ADC是等腰Rt△，底邊上的中線OD垂直底邊，由面面垂直的性質得OD⊥平面ABC，所以OD⊥BC，從而證得BC⊥平面ACD；
解法二：證得AC⊥BC后，由面面垂直，得線面垂直，即證．
（Ⅱ），由高和底面積，求得三棱錐B-ACD的體積即是幾何體D-ABC的體積．

解答：解：（Ⅰ）
【解法一】：在圖1中，由題意知，AC=BC=2

2

，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC
取AC中點O，連接DO，則DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，
且平面ADC∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，從而OD⊥平面ABC，
∴OD⊥BC
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD
【解法二】：在圖1中，由題意，得AC=BC=2

2

，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC?面ABC，∴BC⊥平面ACD
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC為三棱錐B-ACD的高，且BC=2

2

，S_△ACD=

1

2

×2×2=2，
所以三棱錐B-ACD的體積為：VB-ACD=

1

3

Sh=

1

3

×2×2

2

=

4 2

3

，
由等積性知幾何體D-ABC的體積為：

4 2

3

．

點評：本題通過平面圖形折疊后得立體圖形，考查空間中的垂直關系，重點是“線線垂直，線面垂直，面面垂直”的轉化；等積法求體積，也是常用的數(shù)學方法．