Question

已知點F₁、F₂為橢圓的左右焦點，過F₁的直線l交該橢圓于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）兩點，△ABF₂的內切圓的周長為π，則|y₁-y₂|的值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：根據橢圓方程求得a和c，及左右焦點的坐標，進而根據三角形內切圓面積求得內切圓半徑，進而根據△ABF₂的面積=△AF₁F₂的面積+△BF₁F₂的面積求得△ABF₂的面積=3|y₂-y₁|進而根據內切圓半徑和三角形周長求得其面積，建立等式求得|y₂-y₁|的值．
解答：橢圓：，a=5，b=4，∴c=3，
左、右焦點F₁（-3，0）、F₂（ 3，0），
△ABF₂的內切圓面積為π，則內切圓的半徑為r=，
而s_△ABF2=S_△AF1F2+S_△BF1F2=×|y₁|×|F1F₂|+×|y₂|×|F₁F₂|=×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=3|y₂-y₁|（A、B在x軸的上下兩側）
又S_△ABF2=×|r（|AB|+|BF₂|+|F₂A|=×（2a+2a）=a=5．
所以 3|y₂-y₁|=5，
|y₂-y₁|=．
故選D．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的簡單性質，三角形內切圓性質，本題的關鍵是求出△ABF₂的面積，屬于中檔題．