Question

已知橢C：（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F₁，F₂為頂點的三角形周長是4+2，且∠BF₁F₂=．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程．

Answer 1

解：（1）∵以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F₁，F₂為頂點的三角形周長是4+2，且∠BF₁F₂=．
∴2a+2c=4+2，，
∴a=2，c=
∴
∴橢圓方程為．
（2）當直線l的斜率不存在時，過點Q（1，）引曲線C的弦AB不被點Q平分；
當直線l的斜率為k時，l：y-=k（x-1）與橢圓方程聯立，消元可得（1+4k²）x²-4k（2k-1）x+（1-2k）²-4=0
∵過點Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，
∴，
∴解得k=-．
∵
∴點Q在橢圓內
∴直線l：y-=-（x-1），即l：y=-x+1．
分析：（1）利用以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F₁，F₂為頂點的三角形周長是4+2，且∠BF₁F₂=，建立方程，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓C的標準方程；
（2）當斜率l不存在時，過點Q（1，）引曲線C的弦AB不被點Q平分；當直線l的斜率為k時，設方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理及過點Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，建立方程，即可求得結論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦中點問題，正確運用韋達定理是關鍵．