Question

設F是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點，雙曲線兩條漸近線分別為l₁，l₂，過F作直線l₁的垂線，分別交l₁，l₂于A、B兩點，且向量

BF

與

FA

同向．若|OA|，|AB|，|OB|成等差數列，則雙曲線離心率e的大小為（　　）

Answer 1

分析：由勾股定理得出直角三角形的2個直角邊的長度比，聯想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進而求出離心率．

解答：解：不妨設OA的傾斜角為銳角
∵向量

BF

與

FA

同向，
∴漸近線l₁的傾斜角為（0，

π

4

），
∴漸近線l₁斜率為：k=

b

a

＜1，
∴

a2

b2

=

c2-a2

a2

=e2-1＜1，
∴1＜e²＜2
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∴|OB|-|OA|=

1

2

|AB|，
∵|OA|，|AB|，|OB|成等差數列
∴|OA|+|OB|=2|AB|，
∴|OA|=

3

4

|AB|
∴在直角△OAB中，tan∠AOB=

4

3

，
由對稱性可知：OA的斜率為k=tan（

π

2

-

1

2

∠AOB），
∴

2k

1-k2

=

4

3

，∴2k²+3k-2=0，∴k=

1

2

（k=-2舍去）；
∴

b

a

=

1

2

，∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=e²-1=

1

4

，
∴e²=

5

4

，
∴e=

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點評：本題考查了雙曲線的簡單性質以及等差數列的性質，確定|OA|=

3

4

|AB|，聯想到對應的是漸近線的夾角的正切值，是解題的關鍵．