Question

11．若函數f（x）滿足對任意的兩個不相等的正數x₁，x₂，下列三個式子：f（x₁-x₂）+f（x₂-x₁）=0，（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$都恒成立，則f（x）可能是（　　）

• A． f（x）=$\frac{1}{x}$
• B． f（x）=-x²
• C． f（x）=-tanx
• D． f（x）=|sinx|

Answer 1

分析 推導出f（x）是奇函數，且是減函數，由此排除B，D；再利用特殊值排除C，由此利用排除法能求出結果．

解答 解：∵函數f（x）滿足對任意的兩個不相等的正數x₁，x₂，
f（x₁-x₂）+f（x₂-x₁）=0，（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，
∴f（x）是奇函數，且在（0，+∞）上是減函數，
∴選項B和選項D不成立，
∵f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，
在A中，f（x）=$\frac{1}{x}$，
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}}{2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵（x₁+x₂）²=${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}$＞4x₁x₂，
∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故A成立；
在C中，f（x）=-tanx，
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-tan$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{-tan{x}_{1}-tan{x}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$（tanx₁+tanx₂），
取${x}_{1}=\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{9π}{4}$，得f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=f（$\frac{5π}{4}$）=-tan$\frac{5π}{4}$=-1，
$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{-tan{x}_{1}-tan{x}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$（tanx₁+tanx₂）=-1，
此時，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故C不成立．
故選：A．

點評 本題考查滿足條件的函數的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．