Question

已知函數f(x)=

A

2

-

A

2

cos2(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

)的圖象過點（1，2），相鄰兩條對稱軸間的距離為2，且f（x）的最大值為2．
（1）求φ；
（2）計算f（1）+f（2）+…+f（2010）；
（3）若函數g（x）=f（x）-m-1在區間[1，4]上恰有一個零點，求m的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數的周期求出ω的值，根據函數的最大值求出A的值，根據函數過點（1，2）及∅的范圍求出∅的值．
（2）由（1）知f(x)=1-cos2(

π

4

x+

π

4

)且周期為4，2010=4×502+2，故 f（1）+f（2）+…+f（2010）=
f（1）+f（2）．
（3）由g(x)=f(x)-m-1=-cos(

π

2

x+

π

2

)-m=sin

π

2

x-m在區間[1，4]上恰有一個零點知：函數y=sin

π

2

x的
圖象與直線恰有一個交點．在同一直角坐標系內作出這兩個函數的圖象，結合圖象可得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵

T

2

=2，T=4，ω＞0∴2ω=

2π

T

=

π

2

∴ω=

π

4

，由于f（x）的最大值為2且A＞0，
所以

A

2

+

A

2

=2，即A=2，得 f(x)=1-cos2(

π

4

x+φ)，又函數f（x）的圖象過點（1，2）則cos2(

π

4

+φ)=-1∴sin2φ=1∴2φ=2kπ+

π

2

，φ=kπ+

π

4

∵0＜φ＜

π

2

∴φ=

π

4

．
（2）由（1）知f(x)=1-cos2(

π

4

x+

π

4

)且周期為4，2010=4×502+2，
∵f（1）=2，f（2）=1，f（3）=0，f（4）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4，
故 f（1）+f（2）+…+f（2010）=502×4+f（1）+f（2）=2008+3=2011．
（3）由g(x)=f(x)-m-1=-cos(

π

2

x+

π

2

)-m=sin

π

2

x-m在區間[1，4]上恰有一個零點知：
函數y=sin

π

2

x的圖象與直線y=m恰有一個交點．在同一直角坐標系內作出這兩個函數的圖象（如圖所示），
由圖象可知 0＜m≤1或 m=-1，故m的取值范圍是{m|0＜m≤1，或 m=-1}．

點評：本題考查三角函數的最值，函數的零點，三角函數的周期性和求法，體現了數形結合的數學思想，求出函數f（x） 的
解析式，是解題的突破口．