Question

以下命題中，正確命題的個數有（　　）
①函數f（x）=log₂x與函數f(x)=log

1

2

x的圖象關于x軸對稱；
②集合A={x|ax²-4x+4=0，a∈R}恰有一個元素，則實數a的值為1；
③函數f（x）=sinx圖象的對稱中心坐標為（kπ，0），（k∈Z）；
④已知定義在R上的奇函數f（x），當x＞0時，f（x）=2^x，則當x＜0時，f(x)=-

1

2x

．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：①由于函數f(x)=log

1

2

x=-log₂x，可知函數f（x）=log₂x與函數f(x)=log

1

2

x的圖象關于x軸對稱；
②當a=0時，由-4x+4=0，解得x=1，此時A只含有一個元素；當△=（-4）²-16a=0，此時A也只含有一個元素；
③令sinx=0，解得x=kπ（k∈Z），即可得到函數f（x）=sinx圖象的對稱中心；
④設x＜0，則-x＞0，利用奇函數的性質可得：f（x）=-f（-x）=-2^-x=-

1

2x

．

解答：解：①∵函數f(x)=log

1

2

x=-log₂x，∴函數f（x）=log₂x與函數f(x)=log

1

2

x的圖象關于x軸對稱，因此正確；
②當a=0時，由-4x+4=0，解得x=1，此時A={1}只含有一個元素；當△=（-4）²-16a=0，即a=1時，由x²-4x+4=0，解得x=2，
∴此時A={2}只含有一個元素；綜上可知：a=0或1．
③令sinx=0，解得x=kπ（k∈Z），因此函數f（x）=sinx圖象的對稱中心坐標為（kπ，0），（k∈Z），故正確；
④設x＜0，則-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-2^-x=-

1

2x

，因此正確．
綜上可知：①②③④都正確．
故選：D．

點評：本題綜合考查了函數的圖象與性質、一元二次方程的實數根與判別式△的關系、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．