Question

已知f（x）=log₂（x+1），當點（x，y）在函數y=f（x）的圖象上運動時，點(

x

3

，

y

2

)在函數y=g（x）的圖象上運動．
（1）求函數y=g（x）的解析式．
（2）求使g（x）＞f（x）的x的取值范圍．
（3）在（2）的范圍內，求y=g（x）-f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）令

x

3

=m，

y

2

=n，由題設條件知n=

1

2

log2(3m+1)，再由（m，n）是函數y=g（x）的圖象上的點，即可得到函數y=g（x）的解析式．
（2）由題意知

1

2

log2(3x+1)≥log2(x+1)．由對數函數的性質可得

3x+1＞0 x+1＞0 3x+1≥(x+1)2

，解不等式組即可得到使g（x）＞f（x）的x的取值范圍．
（3）由題疫條件知g(x)-f(x)=

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

=

1

2

log2

9

(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log2

9

8

．由此可知結合基本不等式即可求出g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值．

解答：解：（1）令（a，b）點是函數y=g（x）的圖象上的動點
則a=

x

3

，b=

y

2

，則x=3a，y=2b，
∵點（x，y）在函數y=f（x）的圖象上
∴（x，y）滿足函數f（x）=log₂（x+1），
即2b=log₂（3a+1），
即b=log₂

3a+1

，
故函數y=g（x）=log₂

3x+1

（x＞-

1

3

），
（2）若g（x）＞f（x）
即log₂（x+1）＜log₂

3x+1

即（x+1）²＜3x+1
解得0＜x＜1
（3）∵（Ⅲ）因為0≤x≤1，
所以g(x)-f(x)=

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

=

1

2

log2

9

(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log2

9

8

．
當且僅當3x+1=2時，即 x=

1

3

時等號成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值為

1

2

log2

9

8

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象與性質的綜合應用，其中（1）中求解析式是坐標法中的“點隨點動”問題，（2）中關鍵是根據對數函數的性質構造關于x的不等式組，（3）的關鍵是根據基本不等式，求出真數部分的最大值，進而根據對數函數的單調性，得到y=g（x）-f（x）的最大值．