Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點，且，橢圓的離心率為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點作直線與橢圓交于，兩點，若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1） ;（2） 或．

【解析】

試題分析：（1）根據所給的條件，用橢圓的基本量表示，解得方程；

（2）分直線斜率不存在和存在兩種情況討論，當直線的斜率存在時，設直線為，與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示和，并且根據條件，表示坐標的關系，代入根與系數的關系后，消去或，得到關于斜率的方程，解得斜率，求得直線方程.

試題解析：（1）依題意，，因為，故．

因為，故，故，

故橢圓的標準方程為．

（2）若與軸垂直，則的方程為，，為橢圓短軸上兩點，不符合題意．

若與軸不垂直，設的方程，由得，．

設，，則，，

由，得，∴，

∴，，，

解得，直線的方程為，即或．