Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．已知函數f（x）=1+a•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
（1）當a=1時，求函數f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數，請說明理由；
（2）若函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，令t=(

1

2

)x，t＞1，則f(x) =g(t)=t2+t+1=(t+

1

2

)2+

3

4

．再根據g（t）的值域為（3，+∞），故不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M成立，從而得出結論．  
（2）由題意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立，即-4•2^x-(

1

2

)x≤a≤2•2^x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立．再利用單調性求出-4•2^x-(

1

2

)x 的最大值和2•2^x-(

1

2

)x的最小值，從而得到a的范圍．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x，令t=(

1

2

)x，t＞1，
則f(t)=t2+t+1=(t+

1

2

)2+

3

4

．
∵f（t）在（1，+∞）上單調遞增，∴f（t）＞f（1），
即f（x）在（-∞，1 ）上的值域為（3，+∞），
故不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M成立，
所以函數f（x）在（-∞，1）上不是有界函數．  
（2）由題意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，-4-(

1

4

)x≤a•(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x，
∴-4•2^x-(

1

2

)x≤a≤2•2^x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，
∴-4•2^x-(

1

2

)x 的最大值小于或等于a，且a小于或等于2•2^x-(

1

2

)x的最小值．
設 2^x=t，h（t）=-4t-

1

t

，p（t）=2t-

1

t

，由x∈[0，+∞） 得 t≥1．
設1≤t₁＜t₂，∵h（t₁）-h（t₂）=

(t2-t1)( 4t1t 2-1)

t1• t2

＞0，
p（t₁）-p（t₂）=

(t1-t2)( 2t1t 2+1)

t1• t2

＜0，
所以，h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增，
h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1，
∴-5≤a≤1，
所以，實數a的取值范圍為[-5，1]．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，利用函數的單調性求函數的最值，函數的恒成立問題，屬于中檔題