Question

已知橢圓的兩焦點分別為F₁，F₂，P是橢圓在第一象限內的一點，并滿足，過P作傾斜角互補的兩條直線PA，PB分別交橢圓于A，B兩點．
（Ⅰ）求P點坐標；
（Ⅱ）當直線PA經過點（1，）時，求直線AB的方程；
（Ⅲ）求證直線AB的斜率為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設P（（x，y），由題意可得，解得即可；
（II）由向量計算公式可得，兩條直線PA，PB傾斜角互補，可得k_PA+k_PB=0，解得k_PB=1．
因此直線PA，PB，的方程分別為，，分別與橢圓方程聯立即可解得點A，B的坐標，再利用斜率計算公式可得斜率，利用點斜式即可得出方程；
（III）S設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設直線PA的方程為：，則直線PB的方程為．分別與橢圓方程聯立即可解得點A，B的坐標，再利用斜率計算公式即可得出直線AB的斜率為定值．
解答：解：（I）由橢圓可得c=，∴兩焦點分別為，．
設P（（x，y），由題意可得，解得，∴P．
（II）∵，兩條直線PA，PB傾斜角互補，
∴k_PA+k_PB=0，解得k_PB=1．
因此直線PA，PB，的方程分別為，，
化為，．
聯立，解得（舍去），，即A．
同理解得B．
∴k_AB==，∴直線AB的方程為，化為．
（III）S設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設直線PA的方程為：，則直線PB的方程為．
聯立，解得A．
同理B，
∴k_AB==．
即直線AB的斜率為定值．
點評：熟練則直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到關于一個未知數的一元二次方程問題、斜率公式、兩條直線PA，PB傾斜角互補?k_PA+k_PB=0等是解題的關鍵．