Question

已知橢圓E：的一個交點為，而且過點．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設橢圓E的上下頂點分別為A₁，A₂，P是橢圓上異于A₁，A₂的任一點，直線PA₁，PA₂分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

Answer 1

考點：

圓與圓錐曲線的綜合；橢圓的定義；橢圓的標準方程．

分析：

（Ⅰ）解法一：根據橢圓E：的一個交點為，過點，可得a²﹣b²=3，，聯立即可求得橢圓E的方程；

解法二：橢圓的兩個焦點分別為，利用橢圓的定義，可求橢圓E的方程；

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，﹣1），設P（x₀，y₀），求出，同

設圓G的圓心為，利用，即可得到線段OT的長度；

解法二：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，﹣1），設P（x₀，y₀），求出，，可得，由切割線定理可得線段OT的長度．

解答：

（Ⅰ）解法一：由題意，∵橢圓E：的一個交點為，

∴a²﹣b²=3，①

∵橢圓過點．

∴，②

①②解得a²=4，b²=1，

所以橢圓E的方程為．…（4分）

解法二：橢圓的兩個焦點分別為，

由橢圓的定義可得，所以a=2，b²=1，

所以橢圓E的方程為．…（4分）

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，﹣1），設P（x₀，y₀），

直線PA₁：，令y=0，得；

直線PA₂：，令y=0，得；

設圓G的圓心為，

則r²=，

而，所以，所以，

所以|OT|=2，即線段OT的長度為定值2．…（14分）

解法二：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，﹣1），設P（x₀，y₀），

直線PA₁：，令y=0，得；

直線PA₂：，令y=0，得；

則，而，所以，

所以，由切割線定理得OT²=|OM|•|ON|=4

所以|OT|=2，即線段OT的長度為定值2．…（14分）

點評：

本題考查橢圓的標準方程，考查圓與橢圓為綜合，考查線段長的求解，認真審題，挖掘隱含是關鍵．