Question

已知橢圓E：的一個交點為，而且過點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓E的上下頂點分別為A₁，A₂，P是橢圓上異于A₁，A₂的任一點，直線PA₁，PA₂分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

Answer 1

（Ⅰ）解法一：由題意，∵橢圓E：的一個交點為，
∴a²-b²=3，①
∵橢圓過點．
∴，②
①②解得a²=4，b²=1，
所以橢圓E的方程為．…（4分）
解法二：橢圓的兩個焦點分別為，
由橢圓的定義可得，所以a=2，b²=1，
所以橢圓E的方程為．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），設P（x₀，y₀），
直線PA₁：，令y=0，得；
直線PA₂：，令y=0，得；
設圓G的圓心為，
則r²=，

而，所以，所以，
所以|OT|=2，即線段OT的長度為定值2．…（14分）
解法二：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），設P（x₀，y₀），
直線PA₁：，令y=0，得；
直線PA₂：，令y=0，得；
則，而，所以，
所以，由切割線定理得OT²=|OM|•|ON|=4
所以|OT|=2，即線段OT的長度為定值2．…（14分）
分析：（Ⅰ）解法一：根據橢圓E：的一個交點為，過點，可得a²-b²=3，，聯立即可求得橢圓E的方程；
解法二：橢圓的兩個焦點分別為，利用橢圓的定義，可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），設P（x₀，y₀），求出，同
設圓G的圓心為，利用，即可得到線段OT的長度；
解法二：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），設P（x₀，y₀），求出，，可得，由切割線定理可得線段OT的長度．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓與橢圓為綜合，考查線段長的求解，認真審題，挖掘隱含是關鍵．