Question

(1)已知數(shù)列{c_n}，其中c_n＝2ⁿ＋3ⁿ，且數(shù)列{c_n+1－pc_n}為等比數(shù)列，求常數(shù)p；

(2)設(shè){a_n}、{b_n}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，c_n＝a_n＋b_n，證明數(shù)列{c_n}不是等比數(shù)列．

Answer 1

答案：
解析：

　　思路與技巧：本例中的兩小題顯然都是根據(jù)定義來(lái)處理，但又都有特點(diǎn)．如(1)這樣的題一般都不是轉(zhuǎn)化為＝常數(shù)，而是等價(jià)于a_n+1²＝a_n·a_n+2．

　　解答(1)∵{C_n+1－pc_n}為等比數(shù)列．

∴(c_n+2－pc_n+1)²＝(c_n+3－pc_n+2)(c_n+1－pc_n)

　　將c_n＝2ⁿ＋3ⁿ代入上式整理得

　　(2－p)(3－p)＝0，

　　∴p＝2或p＝3．

　　(2)設(shè){a_n}{b_n}兩個(gè)等比數(shù)列的公比分別為q₁，q₂且q₁≠q₂，

　　若{c_n}成等比數(shù)列，則＝c_nc_n+2即(a_n+1＋b_n+1)²＝(a_n＋b_n)(a_n+2＋b_n+2)

　　整理得2a_n+1b_n+1＝a_nb_n+2＋b_na_n+2即2q₁q₂＝＋

　　∴q₁＝q₂與q₁≠q₂矛盾，因此{(lán)c_n}不是等比數(shù)列．

　　通過(guò)上述解法可看到若{a_n}{b_n}成等比數(shù)列且公比相同則{a_n＋b_n}成等比數(shù)列；若{a_n}{b_n}成等比數(shù)列且公比不同，則{a_n＋b_n不構(gòu)成等比數(shù)列．

　　評(píng)析：(1)中利用了“由一般到特殊”的思想；(2)證明數(shù)列成等比(或等差)數(shù)列可利用等比(或等差)數(shù)列的定義，或用等比(或等差)中項(xiàng)的概念；而證明數(shù)列不成等比(或等差)數(shù)列常常考慮反證法等．