Question

在數列{a_n}中，若a₁=2，a₂=1，a_n=

2an-1•an+1

an-1+an+1

（n≥2，n∈N），則數列{a_n}的通項公式為a_n=

2

n

．

Answer 1

分析：由a_n=

2an-1•an+1

an-1+an+1

（n≥2，n∈N），兩邊取倒數可得

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

．可知數列{

1

an

}等差數列，利用通項公式即可得出．

解答：解：由a_n=

2an-1•an+1

an-1+an+1

（n≥2，n∈N），兩邊取倒數可得

1

an

=

1

2an+1

+

1

2an-1

，即

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

．
∴數列{

1

an

}是以

1

a1

=

1

2

為首項，

1

a2

-

1

a1

=1-

1

2

=

1

2

為公差的等差數列，
∴

1

an

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

．
∴an=

2

n

．
故答案為

2

n

．

點評：本題考查了通過“兩邊取倒數法”轉化為等差數列，屬于中檔題．