Question

在平面直角坐標系xoy中，給定三點，點P到直線BC的距離是該點到直線AB，AC距離的等比中項．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線L經過△ABC的內心（設為D），且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為．點P（x，y）到AB、AC、BC的距離依次為．依設，d₁d₂=d₃²，得|16x²-（3y-4）²|=25y²，即16x²-（3y-4）²+25y²=0，或16x²-（3y-4）²-25y²=0，化簡得點P的軌跡方程為
圓S：2x²+2y²+3y-2=0與雙曲線T：8x²-17y²+12y-8=0
（Ⅱ）由前知，點P的軌跡包含兩部分
圓S：2x²+2y²+3y-2=0①
與雙曲線T：8x²-17y²+12y-8=0②△ABC的內心D也是適合題設條件的點，由d₁=d₂=d₃，解得，且知它在圓S上．直線L經過D，且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設L的方程為③
（i）當k=0時，L與圓S相切，有唯一的公共點D；此時，直線平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點，所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點．
（ii）當k≠0時，L與圓S有兩個不同的交點．這時，L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況：
情況1：直線L經過點B或點C，此時L的斜率，直線L的方程為x=±（2y-1）．代入方程②得y（3y-4）=0，解得．表明直線BD與曲線T有2個交點B、E；直線CD與曲線T有2個交點C、F．
故當時，L恰好與點P的軌跡有3個公共點．（11分）
情況2：直線L不經過點B和C（即），因為L與S有兩個不同的交點，所以L與雙曲線T有且只有一個公共點．即方程組有且只有一組實數解，消去y并化簡得
該方程有唯一實數解的充要條件是8-17k²=0④
或⑤
解方程④得，解方程⑤得．
綜合得直線L的斜率k的取值范圍．（14分）
分析：（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為．點P（x，y）到AB、AC、BC的距離依次為．由此能求出點P的軌跡方程．
（Ⅱ）點P的軌跡包含圓S：2x²+2y²+3y-2=0與雙曲線T：8x²-17y²+12y-8=0．△ABC的內心D也是適合題設條件的點，由d₁=d₂=d₃，解得．設L的方程為．再分情況討論能夠求出直線L的斜率k的取值范圍．
點評：求題考查點的軌跡方程的求法和求L的斜率k的取值范圍，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用，利用圓錐曲線的性質恰當地進行等價轉化．